Закономерность в расстоянии между планетами. Правило тициуса-боде и поиски пятой планеты

В 1766 г. немецкий учёный И. Тициус фон Виттенберг предложил эмпирическую формулу, описывающую известные к тому времени большие полуоси орбит планет Солнечной системы от Меркурия до Сатурна (имелся лишь пропуск на месте пояса астероидов):

Rn = 59,84 + 44,88*2n.

Здесь Rn – большая полуось орбиты планеты млн. км; n = –?, 0, 1, 2, 3, … (табл. 8).

В дальнейшем немецкий астроном И. Боде, восхищаясь правильностью в расстояниях планет, стал пропагандировать правило Тициуса. Теперь оно называется «правилом Тициуса – Боде». С открытием Урана, орбита которого достаточно точно легла на предсказанную последовательность, появился интерес к правилу Тициуса, и Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером (табл. 8, n = 3). В предсказанном месте была обнаружена Церера, что вызвало доверие астрономов к правилу. Никакого теоретического обоснования правило Тициуса – Боде на сегодняшний день не имеет, но косвенную пользу науке принесло благодаря открытию Цереры и Урана.

С позиций устройства солнечной системы, данного в настоящей монографии, правило Тициуса – Боде носит случайный характер и не является законом, так как оно:

Противоречит законам Кеплера и Ньютона (правило начинает отсчёт с орбиты Меркурия, а должно от Солнца в силу центрального действия гравитации);

Не объясняет орбиты Меркурия, Нептуна, и пояса астероидов
(и колец вокруг планет);

Не учитывает иерархию структуры Солнечной системы.

Таблица 8

Сравнение расчётных значений больших полуосей орбит планет
по правилу Тициуса – Боде с наблюдением

		Радиус орбиты, млн. км
		Расчёт по правилу	Наблюдение
Меркурий



Пояс астероидов



	выпадает

Случайность правила Тициуса – Боде связана с рядом причин:

Правило получено для ограниченного количества планет, так как в то время были известны не все планеты;

Отношения больших полуосей орбит для пояса астероидов, Юпитера, Сатурна и Урана кратно 2 и имеет своё объяснение, предлагаемое в данной монографии;

Для планет земной группы отношение больших полуосей орбит также близко 2, как результат интерференции;

Нормировка зависимости на большую полуось орбиты Земли без учёта различий планет-гигантов и планет земной группы.

Правило Тициуса – Боде следует рассматривать как эмпирическую математическую регрессию, построенную на ограниченном количестве точек. С момента своего открытия правило трактовалось механистическим взглядом на гравитацию. Правило не объясняет пояс астероидов (и колец планет), не видит разницы в физических параметрах планет-гигантов и планет земной группы, не учитывает пространство как носитель гравитационного поля и его волновые свойства, и другое.

Простой, но более жесткий анализ исходных данных по правилу Тициуса – Боде, с учетом иерархии Солнечной системы, подтверждает выводы приведенные выше (рис. 8).

Рис. 8. Правило Тициуса – Боде. Регрессионные зависимости (линии)
для логарифмов по основанию 2 больших полуосей орбит
планет земной группы (R1) и планет-гигантов (R2).
Точки – наблюдательные данные

Если бы закон Тициуса – Боде выполнялся, то в на рис. 8 была бы одна регрессия на все наблюдательные точки (то есть для планет-гигантов и для планет земной группы вместе) с коэффициентом при переменной n равным 1. Для планет-гигантов (регрессия R2) указанный коэффициент близок 1 (на рис. 8 его значение равно 0,9774) и, следовательно, средние радиусы орбит планет и пояса астероидов кратны 2 по правилу Тициуса – Боде. Однако даже в этом случае порядок коэффициента k для планет из табл. 2 лучше порядка n табл. 8.

Для планет земной группы (регрессия R1) правило Тициуса – Боде не выполняется, так как коэффициент существенно отличается от единицы (равен 0,5374). Кроме того, в этом случае получена статистическая значимость регрессии, а не физическая закономерность на уровне закона (коэффициент детерминации R2 = 99,44 % статистически достаточно высок, но не соответствует значимости физического закона).

Рис. 8 приведен здесь, чтобы наглядно продемонстрировать существование иерархии планет в Солнечной системе (то есть то, что планеты – гиганты отличаются от планет земной группы условиями «формирования» и, следовательно, массами).

В данной монографии рассмотрена задача многих тел, которая решается благодаря тому, что вокруг Солнца формируется предопределённый профиль пространства. Этот профиль пространства однозначно связан с массой центрального тела, и для него существует строго определённая планетная система (в том числе по массам планет). Это отличается от формулировки по И. Ньютону, когда массы взаимодействующих тел произвольны, и ближе к формулировке И. Кеплера, когда имеется преобладающий центр тяготения.

Результаты исследований показали, что современная форма уравнений Дж. Максвелла позволяет вычислить отсутствующие фундаментальные константы, описывать гравитон подобно фотону и что сам гравитон является пространством. Закон всемирного тяготения И. Ньютона часть современной формы уравнений Дж. Максвелла – теперь гравитационной теории поля. «Квантово-волновые» свойства гравитона позволяют строить теорию Солнечной системы подобно волновой квантовой механике Э. Шредингера. Математическая статистика регрессионных зависимостей наглядно демонстрируют силу теоретических законов. Предложенная теория показывает случайное совпадение, и ограниченность эмпирического правила Тициуса – Боде.

В 1766 году немец по имени Иоганн Тициус который успел попробовать себя в астрономии, физике и математике, на досуге вывел довольно любопытное правило, позволяющее, зная расстояние от Солнца до Земли, рассчитать и расстояние до других планет . Как бы то ни было, на «открытие» Тициуса никто особого внимания не обратил, тем более и сам Иоганн не претендовал на роль великого астронома, а его формула расчета работала без всякого теоретического обоснования и вообще, выглядела скорее остроумной шуткой, чем подлинным научным инструментом.

Иоганн Тициус — астроном, физик, математик. Автор «правила Тациуса-Боде» позволяющего достаточно точно высчитать расстояние между планетами солнечной системы

Однако в 1772 году к идее Тициуса обратился другой немецкий астроном Иоганн Боде — он-то и оказался «популяризатором» новой теории, представившим формулу своего коллеги и земляка широкой общественности. С тех нор формула называется правилом Тициуса-Боде . И, хотя с момента открытия правила прошло уже больше двух веков, специалисты занятые изучением звездного неба до сих пор не выработали четкой позиции как обращаться с «правилом» — как со случайным совпадением или… впрочем, пусть каждый решит это для себя самостоятельно!

Как работает правило Тициуса-Боде

Расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн. километров, однако так как орбита Земли не идеально круглая, мы можем смело округлить это расстояние до 150 млн.км. Именно 150 млн. км — то расстояние, что называется астрономической единицей (а.е.).

Что сделал Тациус? Он сочинил довольно несложную формулу, которую можно записать в таком виде:

Rn = 0.4+(0.3 x 2 n)

Rn — среднее расстояние от Солнца до планеты с порядковым номером n, в астрономических единицах.
n — число, порядковый номер планеты, причем соответствует 2, Земле 1 (т.е. 1 а.е.), Венере — 0, Меркурию — бесконечность и т.п.

Вот так всё просто (несмотря на наличии того факта, что счет начинается даже не с нуля, а бесконечности — двойного нуля!). Почему в формуле фигурируют числа 0,4 и 0,3? Спросите у Тициуса — скорее всего он просто подобрал их эмпирически, без всякого теоретического обоснования.

Проверим как это работает? Да легко. Рассчитаем, например расстояние для Земли, уже хорошо нам известное.

0,4+(0,3 х 2 1) = 1 (а.е.)

Совпадение? Конечно совпадение, давайте рассчитаем расстояние для другой планеты, например для Марса?

0,4+(0,3 х 2 2) = 1,6 (а.е.), постойте, а сколько действительно астрономических единиц отделяет ? 1,52 а.е., но при этом нельзя забывать — орбита Марса — это эллипс, поэтому 1,52 это усредненное значение. Снова совпадение? Тогда давайте сделаем полный расчет для солнечной системы и посмотрим что получится в итоге.

	Название	n	Действительное расстояние от Солнца, (а. е.)	Расстояние от Солнца по правилу Тициуса - Воде, (а. е.)
1	Меркурий	- 00	0,39	0,4
2	Венера	0	0,72	0,7
3	Земля	1	1,0	1,0
4	Марс	2	1,52	1,6
5	-	8	-	2,8
6	Юпитер	4	5,2	5,2
7	Сатурн	5	9,54	10,0
8	Уран	6	19,2	19,6
9	Нептун	7	30,07	38,8
10	Плутон	8	39,46

Откуда пошел миф о «пятой планете» и была ли она вообще?

К моменту публикации правила Тициуса-Боде ещё не были открыты Уран, Нептун и Плутон, поэтому данные приведенные в таблице сперва просто ошеломили научную общественность. Шутка вдруг стала приобретать какой-то мистический оттенок, особенно после того, как в 1781 году был открыт Уран, истинное положение которого (19,6 а.е.) почти соответствовало теоретическому (19,2 а.е.)!

И тут уже задумались многие научные светила — если «правило» точно (вернее почти точно) указывает на 7 известных планет, то… где та самая восьмая, а точнее пятая планета, предсказанная на расстоянии 2,8 а.е., между Марсом и Юпитером? Фактически, до этого момента никто и не обсуждал (и не предполагал) всерьез её наличие — ведь сразу после Марса шел Юпитер, и никаких признаков того, что между ними могло где-то вклинится ещё одно небесное тело не было. Фактически пресловутый миф о пятой планете (Фаэтоне) был «документально засвидетельствован» именно правилом Тициуса-Боде — других доказательств свидетельствующих о наличии ещё одного небесного тела в Солнечной системе, к концу 18-го века не существовало.

Широкое обсуждение вопроса «пятой планеты» состоялось на Астрономическом конгрессе в 1790 году, однако никакой ясности в этом вопросе не было ещё долгих десять лет, пока в 1801 году астроном Джузеппе Пиацци не открыл астероид Цереру, расположенный на расстоянии… 2,8 астрономических единиц от Солнца.

Правило Тициуса-Боде в ретроспективе

Открытие Цереры не стало триумфом правила Тициуса-Боде — несмотря на то, что этот астероид имел и был довольно солидного диаметра (950 км), все-таки это была явно не планета. Да и времена пошли другие — научные методы требовали научного подхода, а не несложной формулы, половина значений в которую подставлялась словно «от балды».

О правиле Тициуса-Боде стали постепенно забывать, и хотя по мере открытия других объектов пояса астероидов между Марсом и Юпитером, все чаще стала звучать версия о «погибшей пятой планете», но из авторитетного источника, правило снова откочевало в стан «забавных идей» и околонаучных трюков.

Открытие в 1846 г. планеты Нептун вообще поставило на истории «правила» крест (вместо предсказанных 30 а.е., Нептун располагался в 38,8 а.е. от Солнца), а открытие Плутона в 1930 г. — жирную точку (39,46 а.е. вместо предсказанных 77,2 а.е.).

Впрочем, как уже говорилось: правило Тициуса-Боде - это не закон, подобный, например, законам Кеплера или Ньютона, а правило , полученное из анализа имеющихся данных о расстояниях известных планет от Солнца. Просто некое удивительное соотношение, мимо которого проходили долгое время.

А к любому правилу имеются свои отклонения — во всяком случае ничего не обычного в таких отклонениях нет, иногда они даже служат подтверждением правил.

Взять, к примеру, ту же Цереру — хорошо, это вовсе не планета и то, что она оказалась именно на нужном расстоянии от Солнца — просто совпадение. Но ведь Плутон это тоже не совсем планета, верно? Тогда почему мы должны считать, что объект под номером 10 в списке Тициуса — это именно Плутон, ведь расчетное расстояние в 77, а.е. указывает даже не на окраину солнечной системы, а куда-то за край Пояса Койпера, в плохо изученное Облако Оорта?

Возможно совпадения в результатах вычислений по правилу Тициуса-Боде это просто случайное совпадение, но возможно это и «частично работающий» механизм, часть элементов которого работает в наше время также как в незапамятные времена, а часть безвозвратно утрачена и унесена рекой времени. Как, например, мифическая «пятая планета».

Александр Фролов,
в основе материала глава книги «Внуки Солнца», В.С.Гетман.

Расстояния от планет Солнечной системы до Солнца возрастают согласно простому арифметическому правилу.

Есть что-то такое в нумерологии, что буквально завораживает людей. Будучи ученым, занимающимся общественно-просветительской деятельностью, я регулярно получаю письма от людей, нашедших очередную «разгадку» какой-либо тайны Вселенной посредством анализа последовательности десятичных знаков в записи числа π или массы одной из элементарных частиц. Логика у них простая: если найдена какая-то закономерность в числовой последовательности, благодаря которой удается объяснить какое-либо природное явление, значит за этим кроется что-то фундаментальное. Надуманным «законам» подобного рода в этой книге уделяется мало внимания, однако для правила Тициуса-Боде, хотя оно и относится к вышеупомянутой категории, следует сделать исключение (ничего предосудительного в том, как оно изначально было выведено и проверено, нет; просто со временем выяснилось, что оно не всегда работает, - и мы это увидим).

В 1766 году немецкий астроном и математик Иоганн Тициус заявил, что выявил простую закономерность в нарастании радиусов околосолнечных орбит планет. Он начал с последовательности 0, 3, 6, 12, ..., в которой каждый следующий член образуется путем удвоения предыдущего (начиная с 3; то есть 3 × 2 n , где n = 0, 1, 2, 3, ...), затем добавил к каждому члену последовательности 4 и поделил полученные суммы на 10. В итоге получились весьма точные предсказания (см. таблицу) расстояний известных на то время планет Солнечной системы от Солнца в астрономических единицах (1 а. е. равна среднему расстоянию от Земли до Солнца).

Совпадение прогноза с результатом действительно впечатляет, особенно если учесть, что открытый лишь в 1781 году Уран также вписался в предложенную Тициусом схему: по Тициусу - 19,6 а. е., фактически - 19,2 а. е. Открытие Урана подогрело интерес к «закону», прежде всего к таинственному провалу на удалении 2,8 а. е. от Солнца. Там, между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета - считали все. Неужели она столь мала, что ее невозможно обнаружить в телескопы?

В 1800 году даже была создана группа из 24 астрономов, ведших круглосуточные ежедневные наблюдения на нескольких самых мощных в ту эпоху телескопах, они даже дали своему проекту громкое название «Небесная стража», но, увы... Первую малую планету, обращающуюся по орбите между Марсом и Юпитером, открыли не они, а итальянский астроном Джузеппе Пиацци (Guiseppe Piazzi, 1746–1826), и произошло это не когда-нибудь, а в новогоднюю ночь 1 января 1801 года, и открытие это ознаменовало наступление ХIX столетия. Новогодний подарок оказался удален от Солнца на расстояние 2,77 а. е. Однако диаметр этого космического объекта (933 км) явно не позволял счесть ее искомой крупной планетой. Однако в течение всего нескольких лет после открытия Пиацци было обнаружено еще несколько малых планет, которые назвали астероидами, и сегодня их насчитывается много тысяч. Подавляющее большинство из них обращается по орбитам, близким к предсказываемым правилом Тициуса-Боде, и, по последним гипотезам, они представляют собой «строительный материал», который так и не сформировался в планету (см. Гипотеза газопылевого облака).

Немецкий астроном Иоганн Боде, будучи под большим впечатлением от выводов Тициуса, включил их в свой учебник по астрономии, изданный в 1772 году. Именно благодаря его роли как популяризатора его имя возникло в названии правила. Иногда его даже несправедливо называют просто правилом Боде.

И как реагировать человеку, столкнувшемуся с такой «магией» последовательности чисел? Я всегда рекомендую задающимся подобными вопросами придерживаться умного совета, который дал мне в свое время умудренный опытом преподаватель теории вероятностей и статистики. Он часто приводил пример поля для гольфа. «Предположим, - рассуждал он, - что мы задались целью рассчитать вероятность того, что шар для гольфа приземлится на точно заданную травинку. Такая вероятность будет практически нулевой. Но, после того, как мы ударили клюшкой по шару, шару ведь надо куда-то упасть. И рассуждать о том, почему шар упал именно на эту травинку, бессмысленно, поскольку, если бы он упал не на нее, он упал бы на одну из соседних».

Применительно к правилу Тициуса-Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа. Представим себе вместо травинок всевозможные арифметические комбинации чисел, которые призваны дать результаты для расчета радиусов орбит. Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса-Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще - не более чем игра случая, и к настоящей науке это «открытие» отношения не имеет.

В реальной жизни всё оказалось даже проще, и к статистическим доводам для опровержения правила Тициуса-Боде прибегать не пришлось. Как это часто бывает, ложная теория была опровергнута новыми фактами, а именно открытием Нептуна и Плутона. Нептун обращается по очень неправильной, с точки зрения Тициуса-Боде, орбите (прогноз для его радиуса 38,8 а. е., в действительности - 30,1 а. е.). Что касается Плутона, то его орбита вообще лежит в плоскости, заметно отличающейся от орбит других планет, и характеризуется значительным эксцентриситетом, так что, само упражнение с применением правила становится бессмысленным.

Так что же, выходит, правило Тициуса-Боде относится к разряду псевдонаучных? Не думаю. И Тициус, и Боде искренне пытались отыскать математическую закономерность в строении Солнечной системы - и ученые продолжали и продолжают заниматься поисками подобного рода. Проблема в том, что ни тот, ни другой не пошли дальше игры чисел и не попытались отыскать физическую причину того, почему орбиты ближних планет подчиняются подмеченной ими закономерности. А без физического обоснования «законы» и «правила» подобного рода остаются чистой нумерологией - и, как показывают имеющиеся сегодня данные, весьма некорректной нумерологией.

В продолжение темы соотношения

Правило, о котором речь идёт ниже (Тициуса-Боде), моогло быть установлено только натуралистически. Гипотетико-дедуктивный метод эффективно работает там, где у нас есть уверенность, что последовательно выдвигая гипотезы и развивая в теории те, которые прошли фальсификационный тест, мы «на длинной дистанции» приближаемся к истине, а не удаляемся от неё. Она даётся именно и только натуралистическим бэкграундом, с развитым выделением систем, далее ставших объектом исследования, при помощи сравнительного метода, их систематикой и пр. См., например, возражения к правилу Тициуса-Боде с позиций гипотез небулярного типа.

=================================

Правило XVIII века в большинстве планетарных систем выполняется лучше, чем в Солнечной

Александр Березин

Четверть тысячелетия тому назад немецкий астроном Иоганн Тициус заявил, что нашёл закономерность в нарастании радиусов орбит планет, вращающихся вокруг Солнца. Если начать с ряда чисел 0, 3, 6, 12 и далее с последующим удвоением (начиная с тройки), а затем добавлять к каждому числу в этой последовательности 4, а результат разделить на 10, то получится таблица расстояний до известных в ту пору планет Солнечной системы — в астрономических единицах, конечно, то есть в расстояниях от Солнца до Земли (сейчас, разумеется, правило формулируют более изощрённо).

Соответственно, по Тициусу, для нашей системы расстояния от планет до звезды равнялись 0,4, 0,7, 1,0, 1,6 а. е. и т. д. Фактически планеты были, конечно, лишь близки к этим значениям: 0,39 а. е. для Меркурия, 0,72 для Венеры, 1,00 для Земли, 1,52 для Марса.

Эта идея привлекла огромное внимание после того, как через 15 лет был открыт Уран, точно вписавшийся в правило Тициуса — Боде (19,22 а. е. против 19,6 а. е. по правилу). Тогда начали искать пропущенную пятую планету и нашли сначала Цереру, а затем и пояс астероидов. И хотя позже выяснилось, что Нептун не соответствует правилу, обаяние предложенной системы во многом сохранилось. Хотя бы потому, что по некоторым планетам расхождение с правилом равнялось 0,00%: такое не часто случается в науке, а уж в предсказании радиусов орбит — и того реже .

Эмпирическое правило Тициуса — Боде работает для Солнечной системы неидеально. Но удивляет не это, а то, что оно вообще работает. (Здесь и ниже иллюстрации Wikimedia Commons.)

Как это объясняется теоретически? Да никак. Часто можно услышать, что раз уж планеты в системе есть, то им надо где-то вращаться, и рассуждать о том, почему они вращаются именно там, бессмысленно, поскольку, если бы они вращались не там, то делали бы это в другом месте. Любителям истории нашей страны похожий подход известен по модной нынче фразе неизвестного авторства «История не знает сослагательного наклонения». Некоторые же исследователи характеризуют правило Тициуса — Боде ещё резче: «Нумерология!» То есть никаких объективных предпосылок для его срабатывания нет, и всё это чистое совпадение. Цифры, входящие в его формулу и описывающие удаление планет от Солнца, можно подставить в бесконечное количество формул, и часть из них просто по теории вероятности даст результат, более или менее совпадающий с реальным.

Если правильные предсказания дало именно «правило Тициуса — Боде», а не какое-то иное — значит, такова была воля случая, а к собственно астрономии это «правило» не относится. В общем, пока у него не будет физического обоснования, оно так и не удостоится чести быть раскавыченным. А внятное физическое обоснование, увы, отсутствует: ведь мы даже задачу трёх тел применительно к реальным телам решить не можем . А уж задачу n тел (то есть Солнечную систему) решить удастся разве что на «мощных» квантовых компьютерах, в реальность которых многие вообще не верят.

Тимоти Бовард (Timothy Bovaird) из Австралийского национального университета попробовал применить данное правило к 27 экзопланетным системам, для которых известны хотя бы несколько планет с относительно правильными орбитами.

Оказалось, что 22 системы удовлетворяли взаимным соотношениям радиусов орбит лучше, чем Солнечная, где, напомним, есть Нептун, которого по правилу не должно быть, и отсутствует целостная планета между Марсом и Юпитером, предсказываемая правилом. Три системы подходят под правило хуже Солнечной, а ещё две — примерно в той же мере, что и последняя. Итак, 89% планетных систем, которые известны в степени, достаточной для проверки правила Тициуса — Боде, соответствуют ему не хуже той системы, в которой оно было открыто. Конечно, 89% не слишком хороший результат, однако он значительно лучше, чем можно было бы предположить априори.

Достаточно напомнить, что по современным представлениям планеты нередко мигрируют и сталкиваются; в итоге часть их погибает, а часть навсегда вылетает в межзвёздное пространство. Причём это было свойственно и нашей системе, может быть, вплоть до потери одного газового гиганта. Теоретически всё это должно было найти отражение в таком распределении орбит, которое невозможно назвать иначе как случайным в долгосрочном отношении. Какие уж тут, казалось бы, правила после такой bella omnimus contra omnes...

Чтобы проверить предсказательные возможности правила для экзопланет, авторы работы убрали из данных по наиболее хорошо известным системам ряд достоверных планет-кандидатов и затем попытались установить, требует ли правило «вернуть» их на место. В 100% случаях так и случилось — впрочем, иного трудно было ожидать, учитывая характер проверочной методики.

Т.Бовард осознаёт, что поиск планет там, где они уже найдены, не идеальный метод проверки, поэтому он предложил другой способ. Используя генерализованную формулу Тициуса — Боде (для соотношений радиусов орбит), он предсказал наличие 126 не открытых пока экзопланет в других планетарных системах, 62 из которых предсказаны интерполяцией, а 64 — экстраполяцией.

Вплоть до Урана отклонения от правила малы. Нептун, конечно, подкачал, ибо он ближе, а на его месте почему-то находится Плутон, вообще не являющийся полноценной планетой.

Что ещё более интересно, две из предсказанных планет должны находиться в зоне обитаемости при радиусе в 2,3 раза крупнее земного. Попросту говоря, это землеподобные планеты в зоне обитаемости. Причём такие, которые «Кеплер » ещё не открыл. Располагаются они, предположительно, в системе KOI-490. Как удалось установить, что планеты невелики? Тимоти Бовард исходил из того, что при радиусе выше указанного и правильной орбите эти экзопланеты были бы уже обнаружены. А если этого ещё не произошло, значит, фактически их радиус меньше 2,2-2,3 земного.

Кроме того, вероятны планеты земной группы в обитаемой зоне для системы KOI-812 (пятая планета), а также для KOI-571 и KOI-904. Интересно, что в среднем при анализе этого списка систем количество планет в зоне обитаемости было равно 1-2, хотя иногда речь шла о планетах-гигантах, способных, впрочем, иметь крупные скалистые спутники с атмосферой.

Разумеется, если предсказанные экзопланеты будут найдены, правило Тициуса — Боде останется всего лишь «правилом», так как его физическая обоснованность, при всех сделанных спекуляциях, по-прежнему загадочна. Однако даже при сохранении этой неясности оно окажется полезным, особенно для некомпактных планетных систем типа Солнечной, где значительная часть планет настолько удалена от светила, что найти их методом транзита по диску при нынешнем уровне телескопной техники слишком сложно.

Подготовлено по материалам arXiv .

P.S . Поскольку здесь я профан, буду признателен зат реплики специалистов.

P.P.S . В книге Г.С.Розенберга, Дж.П.Мозгового и Д.Б.Гелашвили «Экология. Обзор теоретических конструкций современной экологии .» (Самара, 1999). отлично систематизирована терминология, относящаяся к делу - чем закон отличается от правила и эмпирической зависимости, гипотеза от модели и теории и пр.

«Преждечем"наводитьпорядок"втеоретико-терминологическойпутанице,примем вслед за Большой Советской Энциклопедией(3-еизд.)ряд определений основных понятий.

АКСИОМА -положениенекоторойтеории,котороепридедуктивном построении этой теории не доказывается в ней,апринимаетсязаисходное. Обычно в качестве аксиом выбираются те предложения рассматриваемой теории,которые являются заведомо истинными или в рамках этойтеории считаются таковыми.

ГИПОТЕЗА -предположение;то,что лежит в основе-причина или сущность.Гипотеза-выраженное в форме суждения (или системы суждений) предположение или предугадывание чего-либо.Гипотезы создаются по правилу:"то,что мы хотим объяснить,аналогично тому,что мы уже знаем".Естественно,что гипотеза должна быть проверяемой.

ЗАКОН -необходимое,существенное,устойчивоеиповторяющееся отношение между явлениями.Заметим,что не всякая связь-закон(связь может быть случайной и необходимой);закон-необходимая связь.Различают законы функционирования (связьвпространстве,структурасистемы)и развития(связьвовремени), динамические (детерминированные)и статистические.Одни законы выражают строгую количественную зависимость между явлениями и фиксируются с помощью математических формализмов, уравнений(закон всемирного тяготения),другие-не поддаются строгой математической записи(закон биогенной миграции атомов В.И.Вернадского или закон естественного отбора Ч.Дарвина).А.А.Любищев (1990) вообщесчитает законы в качественной форме не строго научными,а преднаучными законами, которые надлежит еще только открыть в будущем.

КОНЦЕПЦИЯ -определенныйспособпонимания,трактовкикакого-либо явления,процесса;основная точка зрения на предмет.

МОДЕЛЬ (в широком понимании)-образ или прообраз какой-либо системы объектов,используемый при определенных условиях в качестве ее "заменителя" или "представителя".

ПОСТУЛАТ -предложение (правило)всилукаких-либосоображений "принимаемое"без доказательства,нособоснованием,котороеслужитв пользу его "принятия".Постулат,принимаемый как истина-аксиома,в противном случае требуется его доказуемость вдальнейшем.А.А.Любищев (1990) считает"постулат"как нечто промежуточное между"аксиомой"и"теоремой",а различие между "постулатами"и"законами"он видит в неоспоримом эмпирическом происхождении законов и скрытом эмпиризме постулатов.

ПРАВИЛО -предложение,выражающеепри определенных условиях разрешение или требование совершить (или воздержаться от совершения) некоторого действия;классическим примером могут служить правила грамматики.

ПРИНЦИП -основное исходное положениекакой-либотеории("главный"закон).

ТЕОРЕМА -предложениенекоторойдедуктивнопостроеннойтеории, устанавливаемое при помощи доказательства на базе системы аксиом этой теории.В формулировке теоремы различают два"блока"-условиеизаключение(любая теорема может быть приведена к виду:"если.., то...").

ТЕОРИЯ (в широком понимании)-комплекс взглядов,представлений, идей,направленных на истолкование и объяснение какого-либо явления.Теория (в более узком и специальном смысле)-высшая форма организации научного знания.Посвоемустроениютеорияпредставляетвнутреннедифференцированную,но целостную систему знания,которую характеризует логическая зависимость одних элементов от других,выводимость ее содержания из некоторой совокупности утверждений и понятий (аксиом)поопределенным правилам и принципам.По определениюВ.В.Налимова (1979),теория-это логическое построение,котороепозволяетописатьявлениесущественнокороче,чем это удается при непосредственном наблюдении.

УРАВНЕНИЕ -аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов,при которых значение двух данных функций равны.В другом смысле,например,используютсяхимическиеуравнения-для изображения химических реакций.Но и в том,и в другом случаях подразумевается использование законов сохранения (массы,энергии,числачастицит.п.).Л.Г.Раменский (1934, с. 69) отмечал: “...теоретической задачей экологии является изыскание общезначимых количественных закономерностей в связях организмов и их группировок (ценозов) со средою (экологические оптимумы,факторы разной биологической значимости,средообразующая способность различных растенийи т.д.)”.

На рис. 4показано "соподчинение" основных понятий,которые призваны описать "ядро теории"(Кузнецов, 1967;Розенберг, 1990) или"центральное понятийное звено"(Реймерс, 1990,с. 8).Горизонтальныесвязи наэтой схеме указывают направление возрастания "истинности" тех или иных положений теории,вертикальные-возрастание"важности","главенства этих положений".Координатные оси указывают количественное соотношение различных понятий(очевидно,чточастныхуравнений будетзначительно больше,чем основополагающих принципов,а гипотез-больше,чем теорем)».

С.151-152.
Схема соподчинения основных теоретических терминов

Расстояния от планет Солнечной системы до Солнца возрастают согласно простому арифметическому правилу.

Есть что-то такое в нумерологии, что буквально завораживает людей. Будучи ученым, занимающимся общественно-просветительской деятельностью, я регулярно получаю письма от людей, нашедших очередную «разгадку» какой-либо тайны Вселенной посредством анализа последовательности десятичных знаков в записи числа π или массы одной из элементарных частиц. Логика у них простая: если найдена какая-то закономерность в числовой последовательности, благодаря которой удается объяснить какое-либо природное явление, значит за этим кроется что-то фундаментальное. Надуманным «законам» подобного рода в этой книге уделяется мало внимания, однако для правила Тициуса—Боде, хотя оно и относится к вышеупомянутой категории, следует сделать исключение (ничего предосудительного в том, как оно изначально было выведено и проверено, нет; просто со временем выяснилось, что оно не всегда работает, — и мы это увидим).

Совпадение прогноза с результатом действительно впечатляет, особенно если учесть, что открытый лишь в 1781 году Уран также вписался в предложенную Тициусом схему: по Тициусу — 19,6 а. е., фактически — 19,2 а. е. Открытие Урана подогрело интерес к «закону», прежде всего к таинственному провалу на удалении 2,8 а. е. от Солнца. Там, между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета — считали все. Неужели она столь мала, что ее невозможно обнаружить в телескопы?

В 1800 году даже была создана группа из 24 астрономов, ведших круглосуточные ежедневные наблюдения на нескольких самых мощных в ту эпоху телескопах, они даже дали своему проекту громкое название «Небесная стража», но, увы... Первую малую планету, обращающуюся по орбите между Марсом и Юпитером, открыли не они, а итальянский астроном Джузеппе Пиацци (Guiseppe Piazzi, 1746-1826), и произошло это не когда-нибудь, а в новогоднюю ночь 1 января 1801 года, и открытие это ознаменовало наступление ХIX столетия. Новогодний подарок оказался удален от Солнца на расстояние 2,77 а. е. Однако диаметр этого космического объекта (933 км) явно не позволял счесть ее искомой крупной планетой. Однако в течение всего нескольких лет после открытия Пиацци было обнаружено еще несколько малых планет, которые назвали астероидами , и сегодня их насчитывается много тысяч. Подавляющее большинство из них обращается по орбитам, близким к предсказываемым правилом Тициуса—Боде, и, по последним гипотезам, они представляют собой «строительный материал», который так и не сформировался в планету (см. Гипотеза газопылевого облака).

И как реагировать человеку, столкнувшемуся с такой «магией» последовательности чисел? Я всегда рекомендую задающимся подобными вопросами придерживаться умного совета, который дал мне в свое время умудренный опытом преподаватель теории вероятностей и статистики. Он часто приводил пример поля для гольфа. «Предположим, — рассуждал он, — что мы задались целью рассчитать вероятность того, что шар для гольфа приземлится на точно заданную травинку. Такая вероятность будет практически нулевой. Но, после того, как мы ударили клюшкой по шару, шару ведь надо куда-то упасть. И рассуждать о том, почему шар упал именно на эту травинку, бессмысленно, поскольку, если бы он упал не на нее, он упал бы на одну из соседних».

Применительно к правилу Тициуса—Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа. Представим себе вместо травинок всевозможные арифметические комбинации чисел, которые призваны дать результаты для расчета радиусов орбит. Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса—Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще — не более чем игра случая, и к настоящей науке это «открытие» отношения не имеет.

В реальной жизни всё оказалось даже проще, и к статистическим доводам для опровержения правила Тициуса—Боде прибегать не пришлось. Как это часто бывает, ложная теория была опровергнута новыми фактами, а именно открытием Нептуна и Плутона. Нептун обращается по очень неправильной, с точки зрения Тициуса—Боде, орбите (прогноз для его радиуса 38,8 а. е., в действительности — 30,1 а. е.). Что касается Плутона, то его орбита вообще лежит в плоскости, заметно отличающейся от орбит других планет, и характеризуется значительным эксцентриситетом, так что, само упражнение с применением правила становится бессмысленным.

Так что же, выходит, правило Тициуса—Боде относится к разряду псевдонаучных? Не думаю. И Тициус, и Боде искренне пытались отыскать математическую закономерность в строении Солнечной системы — и ученые продолжали и продолжают заниматься поисками подобного рода. Проблема в том, что ни тот, ни другой не пошли дальше игры чисел и не попытались отыскать физическую причину того, почему орбиты ближних планет подчиняются подмеченной ими закономерности. А без физического обоснования «законы» и «правила» подобного рода остаются чистой нумерологией — и, как показывают имеющиеся сегодня данные, весьма некорректной нумерологией.

Johann Elert Bode, 1748-1826

Немецкий астроном и математик, родился в Гамбурге. Астроном-самоучка, первый трактат по астрономии опубликовал в возрасте 17 лет. С 1772 года и до самой своей смерти — главный редактор «Астрономического ежегодника» (Astronomisches Jahrbuch) Берлинской академии наук, превративший его в прибыльное и престижное издание. В 1781 году предложил для открытой Вильямом Гершелем (William Herschel) новой планеты название Уран. С 1786 года — директор Астрономической обсерватории Берлинской академии. Составитель звездных атласов, которые переиздаются до наших дней. Самый известный из них — «Уранография» (Uranographia , 1801), который до сих пор считается лучшим и самым красочным звездным атласом в истории человечества. Автор геометрических границ между созвездиями, которые были пересмотрены лишь в 1931 году.

Johann Daniel Titius, 1729-96

Немецкий астроном, математик, физик и биолог. Родился в г. Конитц (Konitz), ныне Хойнице (Chojnice) в Польше. В 1752 году окончил Лейпцигский университет и остался при нем. Через четыре года перешел в Университет Виттенберга, в котором и проработал до конца жизни, занимая кафедры профессора математики и физики. К формулировке «правила» Тициуса подтолкнул осуществленный им перевод на немецкий книги французского натуралиста и естествоиспытателя Шарля Бонне (Charles Bonnet). Бонне утверждал, что в устройстве Солнечной системы присутствует гармония, свидетельствующая о ее божественном происхождении. В 1784 году Боде признал приоритет Тициуса в открытии правила, носящего их имя.

Показать комментарии (15)

Свернуть комментарии (15)

С позиции гипотез небулярного типа к закону Боде-Тициуса можно предъявить целый ряд претензий. Прежде всего, закон антиматериалистичен, ведь в формуле Тициуса никак не задействованы массы планет. Между тем большая планета должна, по идее, иметь большую область питания и должна отделятся от планет большим межпланетным интервалом.

Другое возражение связано с делением планет на гиганты и землеподобные. Резкое различие этих типов планет объясняется различными особенностями процесса их формирования, накладывающими отпечаток на все их свойства. По логике, эти особенности должны были сказаться и на взаимном расположении планет. Очень сомнительно, чтобы эти различия вписывались в единую форму.

Следующая претензия - неуниверсальность закона, неприменимость его к аналогам планетной системы - спутниковым системам планет-гигантов.

И, наконец, так ли уж применим закон к самому планетному ряду? Ясно, что планеты от Венеры до Сатурна не в счёт, поскольку они были известны при составлении закона. Остаются Уран и Нептун.

Единственным веским аргументом в поддержку Закона является двухпроцентная близость радиуса орбиты Урана к значению, предсказанному формулой Тициуса. По мнению сторонников Закона такое совпадение почти равносильно доказательству его правильности. Но так ли это на самом деле? Точность ведь понятие относительное, а иногда катастрофична ошибка в миллионную долю.

Как сказал какой-то древний мудрец: "всё познаётся в сравнении". Поступим и мы подобным образом - попробуем поставить себя на место Тициуса и сделать собственное следующее "предсказание".
Рассмотрим числовой ряд: 0,723 ; 1 ; 1,534 ; 5,203 ; 9,539 ; (орбитальные радиусы планет от Венеры до Сатурна (Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) в астрономических единицах).
Возьмём для этих (известных Боде и Тициусу) планет отношения последующего члена к предыдущему:
1/0,723=1,383 1,524/1=1,524 5,203/1,524=3,414 9,539/5,203=1,833
Примем среднее арифметическое этих значений - 2,04 за отношение "Урана" (ещё не открытого) к Сатурну. Тогда для радиуса орбиты новой планеты получим R=19,45 , что ближе к истинному значению = 19,18 , чем получил Тициус (19,50).
Конечно, проведя другие манипуляции с рядом мы могли бы ошибиться раза в полтора однако приведённый пример показывает что 2% точность не столь уж феноменальна и вполне может быть следствием чистой случайности.

Другим аргументом сторонников Закона является предсказание Цереры. Но Церера не планета, а лишь один из множества астероидов Главного пояса (хотя и крупнейший). Поэтому значимость такого совпадения сомнительна. Следующая планета - Нептун в закон не вписывается, а Плутон нельзя принимать во внимание вследствие его "мелкоты" и большой эллиптичности орбиты (Тициус даже Меркурий не учитывал).

Да, Закон сыграл огромную роль в деле открытия Нептуна и других небесных тел. Но роль эта - косвенная. Открытиям помогала вера в правильность Закона. Сам же Закон, вроде бы, надуман и явно не имеет физического смысла.

Представим себе, что развитие астрономии пошло бы другим путём и все планеты были бы открыты случайно. И вот, в редакцию астрономического журнала поступила рукопись, подписанная некими авторами Боде и Тициусом, что ими найдена закономерность расположения планет. Вряд ли кто-то воспринял её всерьёз.

И всё-таки в Законе Боде-Тициуса заложены два очень верных суждения. Первое - планеты (как и их спутники) имеют тенденцию располагаться в примерно геометрической прогрессии. Второе - орбиты планет (опять же, как и спутников) часто располагаются относительно независимо от масс. Здесь речь идёт об орбитальных резонансах - соизмеримостях периодов обращения. Например, за два оборота Сатурна Юпитер совершает примерно 5 оборотов, а Плутон обращается ровно дважды за три периода Нептуна. Если бы конфигурация протопланетного диска была немножко другой, массы Юпитера и Сатурна были бы несколько иными, но их относительное расположение практически не изменилось. Т.е. в противоположность непрерывному изменению масс, относительное расположение небесных тел меняется в некотором смысле "дискретно" - скачками.

Хотя орбитальным резонансам до сих пор не найдено теоретического объяснения, их многочисленность как среди планет, так и их спутников не оставляют сомнений в неслучайности этой закономерности. Обычно резонансам отводится "второстепенная" роль в деле расположения орбит. Предполагается, что первоначально планеты/спутники формировались на каких-то других орбитах, а в резонанс вошли позже - за время жизни Солнечной системы - 4,6 млрд. лет. По мнению же автора планеты/спутники изначально формировались именно на резонансных орбитах. Иными словами, вместо Закона Боде-Тициуса расположением планет (а также их регулярных спутников) управляет "Закон Резонансов". Но у резонансных соотношений есть большой минус, препятствующий вытеснению ими Закона Боде-Тициуса. В отличие от всеохватного З Б-Т далеко не все планеты/спутники "обвязаны" ими.

Автором найден новый тип соотношений связывающих друг с другом орбиты небесных тел. Проиллюстрируем эти соотношения, названные автором промежуточным орбитальным резонансом на следующем примере: Возьмём Венеру и Юпитер, орбитальные радиусы которых равны 0,723 и 5,203 астрономическим единицам, соответственно.

Проделаем с этими числами несколько элементарных арифметических действий.

(5,203+0,723) = 2,963 - это средний радиус частицы, обращающейся по эллипсу между орбитами Венеры и Юпитера (большая полуось этой "промежуточной" орбиты).
2,963/5,203 = 0,5695 - отношение промежуточного среднего радиуса к радиусу орбиты Юпитера.
Возводя это отношение в куб, получаем 0,1847, извлекая из которого квадратный корень, получаем число 0,4298.
Каков смысл всех манипуляций? Мы получили отношение периода обращения промежуточной частицы (Венера-Юпитер) к периоду Юпитера (соглно 3-му закону Кеплера квадраты периодов соотносятся как кубы средних орбитальных радиусов).
Что это за цифирь 0,4298 ? Умножив её на 7 получим 3,01. Значит, если бы между орбитами Юпитера и Венеры обращался астероид, он находился бы с Юпитером в резонансе 3/7.
Что это - случайное совпадение? Таких "совпадений" как среди планет, так и спутников чересчур многовато. Например, за три периода Сатурна, промежуточная частица Сатурн-Нептун обернётся примерно трижды. Если запустить к Венере космический зонд, то через 4 (земных) года он практически встретится с ней, сделав 5 оборотов.
В моих работах, размещённых на сайте http://astronomij.narod.ru/ (более последовательно в трактате "О законе", дано хорошее теоретическое объяснение как "обычным" орбитальным резонансам, так и обнаруженным мной "промежуточным". Показано, что как планетная система, так и спутниковые системы Юпитера, Сатурна, Урана сформировались благодаря их сочетанию.

Ответить

Солнечной системе был свой эволюционный процесс.и то как она сейчас выглядит- есть результат этой эволюции.. Но можно предположить "идеальный" процес эволюции. Если параметры всех планет,а именно, расстояние до Солнца, скорость на орбите и период обращения вокруг Солнца выразить через параметры планеты Земля, Аз = 1 Tз = 1 Vз = 1 То возникнет общая формула взаимозависимых параметров каждой планеты. Аn = Tn Vn ! Где Аn -расстояние до Солнца. Тn -период обращения. Vn -скорость на орбите. n - порядковый номер планеты от Солнца. Но в то же время каждый параметр по отдельности можно выразить через общую формулу. А n = 1.111111111(4n - 12) Tn = 1.111111111(6n-18) Vn = 1.111111111(6 - 2n) ТО что в скобках -это степень. Но самое интересное из всего этого вытекает то, что в Солнечной системе по планету Плутон должно быть 12 планет, а не 9. Первая - пояс астероидов. Вторая - между поясом астероидов и планетой Юпитер. Третья - между Сатурном и Ураном!

Ответить

"Другое возражение связано с делением планет на гиганты и землеподобные. Резкое различие этих типов планет объясняется различными особенностями процесса их формирования, накладывающими отпечаток на все их свойства. По логике, эти особенности должны были сказаться и на взаимном расположении планет. Очень сомнительно, чтобы эти различия вписывались в единую форму." Земля и Юпитер даже легли на одну и ту же кубическую экстраполяцию диаграммы масса-светимость. Какие данные по звёздам тот деятель взял, чтоб получить такой результат, мне не известно, не уверен, что в эти ворота влезет хотя бы Солнце. Но планеты у него легли на одну и ту же кривую, не взаимодействуя между собой. В плане же орбитальных радиусов факт взаимодействия отчётливо виден со времён Ньютона, ускользает от восприятия только конкретика.

Ответить

"Следующая претензия - неуниверсальность закона, неприменимость его к аналогам планетной системы - спутниковым системам планет-гигантов." Универсальный закон был бы равно применим к Солнечной системе и к системе Глизе, но в любом случае не относится к спутникам хоть гигантских, да всё ж ПЛАНЕТ.

Ответить

Я не астроном, я занимаюсь прикладной математикой, доктор технических наук...

Автор утверждает: "Применительно к правилу Тициуса-Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа... Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса-Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще - не более чем игра случая, и к настоящей науке это "открытие" отношения не имеет".

Да, действительно теория интерполяции позволяет найти функцию проходящую через 6 точек... но функция будет сложной... а здесь простая функция, совсем простая...
Попробуйте взять произвольные 6 чисел и найти простую закономерность... устанете искавши, я вас уверяю...

так что таких случайностей не бывает:)))

Где S – синодический период планеты, относительно Меркурия.
3) После элементарных преобразований третьего закона Кеплера имеем:
a = ((T/T_M)*(M_S+m)/(M_S+m_M))^(2/3)*a_M
4) Преобразуем последнее выражение с использованием уравнения связи синодического и сидерического периода:
a = (1-(T_M/S))^(-2/3)*((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
5) Воспользовавшись широко известным разложением в ряд Маклорена функции вида:
(1-x)^(-2/3)=1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*x^n/n!)
получим, что:
a = (1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!))* ((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
- это и есть правило Тициуса-Боде с точки зрения классической механики Ньютона.
Чтобы в этом убедиться посмотрим на выражение известного правила:
a = 0.1*(3*2^m+4)*a.u.,
здесь a.u. – большая полуось орбиты Земли. Немного пофантазировав можно заметить, что при выносе 4 за скобку, мы получим произведение на 0.4 а.е., а это по догматам правила есть большая полуось орбиты Меркурия. Таким образом, получаем весьма нетривиальный вывод:
∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!) = ¾*2^m
Сумма ведет себя подобно степеням двойки! Неординарно, но факт. Даже можно объяснить, почему m для Меркурия равно бесконечности, поскольку синодического периода планеты относительно самой себя не существует!
Да, начиная с Нептуна правило не выполняется по одной простой причине аппроксимация суммы степенями двойки перестает работать. Степень m в правиле связана с отношением T_M/S, т.е. не с чем иным, как с орбитальным резонансом Меркурия с другими планетами Солнечной системы.
А теперь давайте еще раз трезвыми глазами физика-теоретика посмотрим на правило Тициуса-Боде:
r = (1+0.7767040*2^n)*0.38709893 a.u.
Цифры в правиле по очереди:
«1» - взялась во время разложения 3-го закона Кеплера в ряд Маклорена,
«0.38709893 a.u.» - большая полуось орбиты Меркурия (сайт NASA),
«2^n» - сумма из ряда Маклорена (да, это действительно так, до Нептуна все планеты с Меркурием в орбитальном резонансе кратном 2, но если честно Нептун от них не далеко ушел),
«0.7767040» - усредненный коэффициент «отличия» суммы из ряда Маклорена от «2^n». Именно благодаря его универсальности правило Тициуса-Боде и работает для целых 7 планет Солнечной системы. В идеале он, конечно, разнится для каждой из планет, но ведь суть правила в его универсальности, не так ли? (в XVIII веке его положили равным ¾ =0.75 и они были недалеки от правды!)
http://artefact.sosbb.ru/t303-topic

Ответить

Написать комментарий