Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Образовательная: Закрепить навыки работы учащихся с графиками функций при подготовке к ЕГЭ.
Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Чтение графиков. ЕГЭ”
Ход урока
1. Фронтальный опрос.
1) <Презентация. Слайды 3,4>.
Что называется графиком функции, областью определения и областью значений функции? Определить область определения и область значений функций.\
2) <Презентация. Слайды 5,6>.
Какая функция называется четной, нечетной, свойства графиков этих функций?
2. Решение упражнений
1) <Презентация. Слайд 7>.
Периодическая функция. Определение.
Решить задание: Дан график периодической функции, x принадлежит интервалу [-2;1]. Вычислить f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.
f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1
f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1
f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1
f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2
2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.
Решение неравенств с помощью графиков функций.
а) Решите неравенство f(x) 0, если на рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на промежутке [-7;6]. Варианты ответов: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4) (-6;0) (2;4) +
б) На рисунке изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-4;7].Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) -1.
- [-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4;0,5] U + , 4) [-4;0,5]
в) На рисунке изображены графики функций y=f(x),и y=g(x), заданных на промежутке [-3;6]. Укажите все значения Х, для которых выполняется неравенство f(x) g(x)
- [-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U
3) <Презентация. Слайд 11>.
Возрастающая и убывающая функции
На одном из рисунков изображен график функции, возрастающей на отрезке , на другом - убывающей на отрезке [-2;0]. Укажите эти рисунки.
4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.
Показательная и логарифмическая функции
а) Назовите условие возрастания и убывания показательной и логарифмической функций. Через какую точку проходят графики показательной и логарифмической функции, каким свойством обладают графики этих функций?
б) На одном из рисунков изображен график функции y=2 -x .Укажите этот рисунок.
График показательной функции проходит через точку (0, 1).Так как основание степени меньше 1, то данная функция должна быть убывающей. (№3)
в) На одном из рисунков изображен график функции y=log 5 (x-4). Укажите номер этого графика.
График логарифмической функции y=log 5 xпроходит через точку (1;0) , тогда, если х -4 = 1, то у=0, х=1+4, х=5 . (5;0) – точка пересечения графика с осью ОХ. Если х -4 = 5 , то у=1, х=5+4, х=9,
5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.
Нахождение числа касательных к графику функции по графику ее производной
а) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции проведены все касательные, параллельные прямой y=5-2x (или совпадающей с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.
K = tga = f’(x o). По условию k=-2.Следовательно, f’(x o) =-2. Проводим прямую у=-2. Она пересекает график в двух точках, значит, касательные к функции проведены в двух точках.
б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f(x), в которых касательные к графику параллельны оси абсцисс или совпадают с ней.
Угловой коэффициентпрямых, параллельных оси абсцисс или совпадающих с ней равен нулю. Следовательно, К=tg a = f `(x o)=0. Ось ОХ пересекает данный график в четырех точках.
в) Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точекграфика функции y=f(x), в которых касательные к графику наклонены под углом 135 о к положительному направлению оси абсцисс.
6) <Презентация. Слайды 18, 19>.
Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной функции
а) Функция y=f(x) определена на промежутке [-2;6]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.
k=tga=f’(x o). Наименьшее значение у=-3производная функции принимает в точке х=2. Следовательно, касательная к графику имеет наименьший угловой коэффициент в точке х=2
б) Функция y=f(x) определена на промежутке [-7;3]. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.
7) <Презентация. Слайд 20>.
Нахождение значения производной по графику функции
На рисунке изображен график функции y=f(x)и касательная к нему в точке с абсциссой х о. Найдите значение производной f `(x)в точке х о
f’(x o) =tga. Так как на рисунке а - тупойугол, то tg a < 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5
8) <Презентация. Слайд 21>.
Нахождение минимума (максимума) функции по графику ее производной
В точке х=4 производная меняетзнак с минусана плюс. Значит, х=4 является точкой минимума функцииy=f(x)
В точке х=1 производная меняетзнак с плюсанаминус. Значит, х=1 является точкой максимума функцииy=f(x))
3. Самостоятельная работа
<Презентация. Слайд 22>.
1 Вариант
1) Найти область определенияфункции.
2) Решить неравенство f(x) 0
3) Определить промежутки убывания функции.
4)Найти точки минимума функции.
5)Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наибольший угловой коэффициент.
2 Вариант
1) Найти область значений функции.
2) Решить неравенство f(x) 0
3) Определить промежутки возрастания функции.
График производной функции y=f(x)
4) Найти точки максимума функции.
5) Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.
4. Подведение итогов урока
Элементы математического анализа в ЕГЭ Малиновская Галина Михайловна [email protected] Справочный материал Таблица производных основных функций. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций). Производная сложной функции. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Справочный материал Точки экстремума (максимума или минимума) функции, заданной графически. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции, непрерывной на заданном отрезке. Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции. Физические приложения 1.1 Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t= 3с. 1.2 Материальная точка движется 1 3 прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? Решение: Ищем производную х(t) (функции пути по времени). В задаче 1.1 подставляем вместо t его значение и считаем скорость (Ответ: 59). Во задаче 1.2 приравниваем найденную производную к данному числу и решаем уравнение относительно переменной t. (Ответ: 7). Геометрические приложения 2.1 Прямая 𝑦 = 7𝑥 − 5 параллельна касательной к графику 2 функции 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Найдите абсциссу точки касания. 2.2 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 1 является касательной к 2 графику функции 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 . Найдите a. 2.3 Прямая 𝑦 = −5𝑥 + 8 является касательной к 2 графику функции 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. 2.4 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 4 является касательной к графику 2 функции 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Найдите c. Решение: В задаче 2.1 ищем производную функции и приравниваем к угловому коэффициенту прямой (Ответ: 0,5). В задачах 2.2-2.4 составляем систему из двух уравнений. В одном приравниваем функции, в другом приравниваем их производные. В системе с двумя неизвестными (переменной x и параметра) ищем параметр. (Ответы: 2.2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7). 2.5 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 . 2.6 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 . 2.7 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке.x=10. 𝑥0 = 0 Решение: Значение производной функции в точке - это тангенс угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке. «Дорисовываем» прямоугольный треугольник и ищем тангенс соответствующего угла, который берем положительным, если касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ох (касательная «растёт») и отрицательным, если угол тупой (касательная убывает). В задаче 2.7 необходимо провести касательную через указанную точку и начало координат. Ответы: 2.5) 0,25; 2.6) -0,25; 2.7) -0,6. Чтение графика функции или графика производной функции 3.1 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 3.2 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. Решение: Знак производной связан с поведением функции. Если производная положительна, то выделяем ту часть графика функции, где функция возрастает. Если производная отрицательна то там, где функция убывает. Выделяем соответствующий этой части промежуток на оси Ох. В соответствии с вопросом задачи или пересчитываем количество целых чисел, входящих в данный промежуток или находим их сумму. Ответы: 3.1) 4; 3.2) 8. 3.3 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). В первую очередь смотрим, что на рисунке: график функции или график производной. Если это график производной, то нас интересуют только знаки производной и абсциссы точек пересечения с осью Ох. Для наглядности можно нарисовать более привычный рисунок со знаками производной по полученным промежуткам и поведением функции. В соответствии с рисунком ответить на вопрос задачи. (Ответ: 3.3) 44). 3.4 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9]. 3.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11) . Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10]. Решение: Ищем точки пересечения графика производной с осью Ох, выделяя ту часть оси, которая указана в задаче. Определяем знак производной на каждом из полученных промежутков (если график производной ниже оси-то «-», если выше-то «+»). Точками максимума будут те, где знак сменился с «+» на «-», минимума- с «-» на «+». Точками экстремума те и другие. Ответы: 3.4) 1; 3.5) 5. 3.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение. 3.7 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение: Если производная меняет знак на рассматриваемом отрезке, то решение основано на теореме: если непрерывная на отрезке функция имеет на нем единственную точку экстремума и это точка максимума (минимума), то наибольшее (наименьшее) значение функции на этом отрезке достигается в данной точке. Если непрерывная на отрезке функция монотонна, то она достигает своих наименьшего и наибольшего значений на данном отрезке на его концах. Ответы: 3.6) -3; 3.7) -7. 3.8 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней. 3.9 На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? 4.2 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-5;7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 4.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2;6]. 4.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней. Решение: 4.6 Так как на рисунке изображен график производной, а касательная параллельна данной прямой, то производная функции в этой точке равна -2. Ищем точки на графике производной с ординатой равной -2 и считаем их количество. Получаем 5. Ответы: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5. 4.8 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Решение: Если прямая параллельна оси Ох, то её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен нулю, значит производная равна нулю. Ищем абсциссу точки пересечения графика производной с осью Ох. Получаем -3. 4.9 На рисунке изображён график функции y=𝑓 ′ (x) производная функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . В скольких из этих точек производная функции f(x) возрастает? Геометрический смысл определенного интеграла 5.1 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) - одна из первообразных функции f(x). Решение: Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задачах 5.2 и 5.3 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность. 5.2 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − - одна из 8 первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение: Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задаче 5.2 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность. Удачи на ЕГЭ по математике
ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»
Цель урока : формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.
Материалы и оборудование : компьютерная презентация.
План урока
- Организационный момент.
- Устный счет «Лови ошибку»
- Повторение теоретического материала по теме «Своя опора»
- Отработка умений
- Игра «Компетентность»
- Подведение итогов.
Ход урока.
- Организационный момент. В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий ЕГЭ, связанных с графиками функций и их производных.
- Устный счет
(2х 2) / =2х; (3х-х 3) / =3-3х; х / =1 х
- Повторение теоретического материала по теме. (нарисовать человечка в тетради, означающего настроение в начале урока)
Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.
Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:
- Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.
- Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.
Достаточные условия экстремума:
Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х 0 . Тогда если при переходе через точку х 0 производная:
а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции,
б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции,
в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.
Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.
Х (у нас отрезок [а; b ]) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.
Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале. Причем варианты графиков производной могут быть различны.
Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.
- Отработка умений. Рассмотрим задачу:
- Игра «Компетентность»
- Подведение итогов. (нарисовать человечка в тетради, означающего настроение в конце урока) Роль «подводящий итоги» (он скажет, какая мысль (вывод, результат…)на уроке была, по его мнению, главной)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ и ли на пути к ЕГЭ
План урока Организационный момент. Устный счет «Лови ошибку» Повторение теоретического материала по теме, конспект «Своя опора» Отработка умений Игра «Компетентность» Подведение итогов.
Устный счет «Найди ошибку» (2х 2) / = х (3х-х 3) / = 3-3 2 4 х 2 - -5
Повторение теоретического материала по теме f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х. Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х. Если график производной на интервале Х расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале. Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале.
f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 « Своя опора» Возрастает Убывает Возрастает
f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 Е сли при переходе через точку х 0 производная: а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции, б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции, в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет. Повторение теоретического материала по теме « Своя опора» Н еобходимое условие существования экстремума: Если функция y=f (x) имеет экстремум в точке х=х 0 , то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует. max min
Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ) промежутки возрастания: (-5;-1), (2;8),(11;12) Ответ: 6 1 f(x) f / (x) + + +
Отработка умений промежутки убывания: (-1;0), (9;12) Ответ: 3 2 f(x) f / (x) – – Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)
Отработка умений Ответ: -3 3 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)
Отработка умений Ответ: - 3 4 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)
Отработка умений 5 f(x) f / (x) Отработка умений (решение задач из открытого банка ЕГЭ)
Игра «Компетентность » Участники: две команды – фирмы конкуренты Команды придумывают друг для друга по 3 задания по теме урока, обмениваются заданиями, выполняют их и показывают решение на доске. Если соперник не справляется, то задающая вопрос команда сама должна ответить на него. Каждая фирма оценивает работу фирмы-конкурента по 5-бальной системе (каждое задание и каждый ответ) Спонсоры знаний: Петрова Гелена и Семенова Куннэй
Подведение итогов Рисуем человечка Подводим итог: что на уроке было главным? что было интересным? чему научились? Критерии оценок: 28-30 баллов – оценка «5» 20-27 баллов – оценка «4» 10-19 баллов – оценка «3» ниже 10 баллов – рекомендация на кропотливую работу по подготовке к ЕГЭ
Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ; Формировать умения читать свойства функции по графику её производной Подготовиться к контрольной работе
Актуализация опорных знаний 3.Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Если производная положительна, то угловой коэффициент -положителен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – острый. Если производная отрицательна, то угловой коэффициент -отрицателен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – тупой. Если производная равна нулю, то угловой коэффициент равен нулю, тогда касательная параллельна оси ОХ
0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 7 Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x) title="Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f (x) возрастае т на этом интервале. Если f (x)
Актуализация опорных знаний Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Только в этих точках функция может иметь экстремум (минимум или максимум, рис.5а,б). В точках x 1, x 2 (рис.5a) и x 3 (рис.5b) производная равна 0; в точках x 1, x 2 (рис.5б) производная не существует. Но все они точки экстремума. 5. Применение производной для определения критических точек, точек экстремума
Актуализация опорных знаний Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f(x) и производная f существует в этой точке, то f(x 0)=0. Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f (x) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке С другой стороны, функция y = | x | имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производная не существует. Достаточные условия экстремума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет св ой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума. 6. Необходимые и достаточные условия экстремума
Актуализация опорных знаний Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) могут достигаться как во внутренних точках отрезка [а; в], так и на его концах. Если эти значения достигаются во внутренних точках отрезка, то эти точки являются точками экстремума. Поэтому надо найти значения функции в точках экстремума из отрезка [а; в], на концах отрезка и сравнить их. 7. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
1. Отработка знаний, умений и навыков по теме По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции. Шпаргалка для практической работы х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)
Характеристика поведения функции 1.ОДЗ: х принадлежит промежутку от -3 до +; 2.Возрастает на промежутках (-3;0) и (8;+); 3.Убывает на промежутках (0;8); 4.Х=0 – точка максимума; 5.Х=4 – точка перегиба; 6.Х=8 – точка минимума; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;
5. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6]. Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f"(x) Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.
Список вопросов (откорректированных) 1) количество промежутков возрастания функции y = f(x); 2) длину промежутка убывания функции y = f(x); 3) количество точек экстремума функции y = f(x); 4) точку максимума функции y = f(x); 5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума; 6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке ; 7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2]; 8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OУ; 9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OХ угол 60°; 10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Тестирование (В8 из ЕГЭ) 1.Задания теста представлены на слайдах. 2.В таблицу заносите ответы. 3.После завершения теста меняетесь бланками с ответами, проверяете работу соседа по готовым результатам; оцениваете. 4.Проблемные задания рассматриваем и обсуждаем вместе.
К графику функции у =f(x) в его точке с абсциссой x 0 =2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции. Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс. 1
Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135 ° к положительному направлению оси абсцисс. Функция определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.
Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции у = f(х)на отрезке [-6;6]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции у = f(х)на отрезке [-5;5].
Функция у = f(х) определена на отрезке . График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции у =f(х)на отрезке . Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции у=f(х)на отрезке [-6;6]. ab
Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки возрастания функции у = f(х) на отрезке [-6;6]. В ответе укажите наименьшую из длин этих промежутков. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции у = f(х) на отрезке [-5;5]. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.
Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет максимум. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет минимум.
Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,6).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку минимума функции. Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,7).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку максимума функции.
,
Решение задания 19 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Для х 3 f (x) =k=3, следовательно на данном промежутке касательная задана формулой у=3х+b. Значение функции в точке касания совпадает со значением касательной. По условию f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Ответ: 5
Подведение итогов урока Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.
Домашняя работа: задача, связанная с чтением одного и того же графика, но в одном случае это график функции, а в другом график ее производной. Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен: а) график функции y = f(x); б) график производной y = f"(x). По графику определите: 1) точки минимума функции y = f(x); 2) количество промежутков убывания функции y = f(x); 3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке ; 4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси OХ (или совпадает с ней).
Литература 1.Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.. Москва. «Просвещение» ЕГЭ Математика. Типовые тестовые задания. 3.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. Выпускной, вступительный, ЕГЭ на +5. М. «ВАКО» Интернет-ресурсы.
Обобщающий урок на тему:
«Применение производной и ее графика для чтения свойств функции»
Тип урока: обобщающий урок с применением ИКТ в форме презентации.
Цели урока:
Образовательные:
Содействовать усвоению учащимися применению производной в практических заданиях;
Научить учащихся четко использовать свойства функции и производной.
Развивающие:
Развивать умения анализировать вопрос задания и делать выводы;
Развивать умения применять имеющиеся знания в практических заданиях.
Воспитательные:
Воспитание интереса к предмету;
Необходимость данных теоретических и практических умений для продолжения учебы.
Задачи урока:
Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;
Подготовиться к контрольной работе.
План урока.
1. Актуализация опорных знаний (АОЗ).
2. Отработка знаний, умений и навыков по теме.
3. Тестирование (В8 из ЕГЭ).
4. Взаимопроверка, выставление оценок «соседу».
5. Подведение уроков урока.
Оборудование: компьютерный класс, доска, маркер, тесты (2 варианта).
Ход урока.
Оргмомент.
Учитель . Здравствуйте, садитесь.
В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.
При подготовке к ЕГЭ по математике в КИМах даны задачи на применение графика производной для исследования функций. Поэтому на данном уроке мы должны систематизировать свои знания по этой теме и научиться быстро находить ответы на вопросы заданий В8.
Слайд №1.
Тема: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций»
Задачи урока:
Отработка ЗУН применения производной, ее геометрического смысла и графика производной для определения свойств функций.
Развитие оперативности выполнения тестов ЕГЭ.
Воспитание таких качеств личности как внимательность, умение работать с текстом, умение работать с графиком производной
2.Актуализация опорных знаний (АОЗ). Слайды с № 4 по № 10.
Сейчас на экране будут появляться вопросы для повторения. Ваша задача: дать четкий и краткий ответ по каждому пункту. Верность вашего ответа можно будет проверить на экране.
( На экране сначала появляется вопрос, после ответов учащихся для сверки появляется верный ответ.)
Список вопросов для АОЗ.
Определение производной.
Геометрический смысл производной.
Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции.
Применение производной для определения критических точек, точек экстремума
6 .Необходимые и достаточные условия экстремума
7 . Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
(Учащиеся отвечают на каждый пункт, сопровождая свои ответы, записями и чертежами на доске. При ошибочных и неполных ответах, одноклассники исправляют и дополняют их. После ответа учащихся, на экране появляется верный ответ. Таким образом, учащиеся сразу могут определить верность своего ответа.)
3. Отработка знаний, умений и навыков по теме. Слайды № 11 по № 15.
Учащимся предлагаются задания из КИМов ЕГЭ по математике прошлых лет, из сайтов в интернете на применение производной и ее графика для исследования свойств функций. Задания появляются последовательно. Решения учащиеся оформляют на доске, либо устными рассуждениями. Затем на слайде появляется верное решение и сверяется с решением учащихся. Если в решении допущена ошибка, то она анализируется всем классом.
Слайд №16 и №17.
Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.
Тестирование (В8 из ЕГЭ). Слайды с № 18 по № 29. Слайд № 30 – ключи к тесту.
Учитель : Итак, мы обобщили ваши знания по данной теме: повторили основные свойства производной, решили задачи, связанные с графиком производной, разобрали сложные и проблемные моменты применения производной и графика производной для исследования свойств функций.
Сейчас проведем тестирование в 2 варианта. Задания будут появляться на экран оба варианта, одновременно. Вы изучаете вопрос, находите ответ, заносите его в бланк для ответов. После завершение теста, меняетесь бланками и проверяете работу соседа по готовым ответам. Выставляете оценку (до 10 баллов – «2», с 11 до 15 баллов –«3», с 16 до 19 баллов – «4», более 19 баллов – «5».).
Подведение итогов урока
Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени.
Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.
Бланки с ответами сдайте. Оценка за урок вам уже известна и будет выставлена в журнал.
Считаю, что класс подготовился к контрольной работе.
Домашняя работа будет творческая . Слайд № 33 .
